삼각함수란? -1- (함수, sin함수)

함수

삼각함수에 대하여 알아보기 전에 우선 함수란 무엇인가 잠시 짚고 넘어가 봅시다.

함수란

 

"어떤 집합의 각 원소를 다른 어떤 집합의 유일한 원소에 대응시키는 이항관계이다."
-위키백과 참조-

라고 합니다. 말이 어렵습니다.

저는 함수를 입력값x와 출력값y가 있을 때 x -> y의 변화를 정의한 것을 함수라고 하겠습니다.

함수

예를 들어서 
입력값이 1일 때 출력값이 2, 
입력값이 2일 때 출력값이 4, ...
이와 같은 입력과 출력값이 있을 때, 우리는 규칙을 찾을 수 있습니다.

바로 입력값의 2배를 하면 출력값이 된다는 것입니다.

입력값의 2배를 출력하는 함수

y(출력값) = 2x(입력값)
와 같은 식을 얻을 수 있습니다.

함수를 보통

 

y = f(x)

로 표현합니다.

그러면 입력값의 2배의 출력값을 가지는 함수 y = f(x)를 구하여라라는 문제가 나오면

답은 f(x) = 2x 가 되는 것입니다.

 

 

삼각함수

삼각함수는 어떤 입력값과 출력값을 가지는 함수일까요?

바로 직각 삼각형에서 입력값으로는 각도를 출력값으로는 삼각비를 나타내는 함수를 삼각함수라고 합니다.

 

삼각비라니 생소한 단어가 나왔습니다. 차근차근 알아봅시다.

 

우선 직각삼각형을 봅시다.

직각삼각형

 

직각삼각형의 구성으로 빗변, 밑변, 높이 그리고 빗변과 밑변의 각도 이렇게 4개의 구성요소가 있습니다. (삼각함수에서는 빗변과 밑변의 각도가 기준입니다.)

 

삼각비란 3개의 선분 중 임이의 2개의 선분에 대한 비율을 의미합니다.

 

예를 들어 각도(입력값)를 넣어서 높이 / 빗변(출력값) 이 출력된다면 이 함수는 sin함수입니다.

 

이렇게 어떤 선분의 삼각비가 출력되는지에 따라서 

 

sin(사인)함수, cos(코사인)함수, tan(탄젠트)함수 3가지 종류의 삼각함수가 있습니다.

sin, cos, tan 함수

 

 

 

sin함수

먼저 sin함수부터 봅시다.

sin(θ) = 높이 / 빗변

이미 한번 설명한 것과 같이 sin함수는 각도(입력값)에 따른 직각 삼각형의 3선분 (높이, 밑변, 빗변)중 2개의 선분(높이와 빗변)간의 비율을 나타내는 함수입니다. 

우선 단위원을 그리고 그 위에 직각 삼각형을 그려 봅시다.

단위원 위 직각삼각형

 

단위원이기 때문에 빗변의 값은 1입니다.

sin(θ) = 높이 / 빗변

에서

sin(θ) = 높이 / 1

이 되기 때문에 단위원에서는 

sin(θ) = 높이

라고 볼 수 있습니다. 그렇기 때문에 각도가 0도이면 높이도 0이기 때문에 

sin(0도) = 0

이 되는 것을 알 수 있습니다.

반대로 각도가 90도가 되면 빗변과 높이가 같아지기 때문에 높이가 1이 됩니다.

sin(90도) = 1

즉 사인함수는 0도에서 90도로 입력값이 변화할 때 출력값이 0에서 1로 변화하는 것을 알 수 있습니다.

 

그럼 각도가 0도에서 360도 한 바퀴 돌게 될 때 출력값은

0도 => 0

90도 => 1

180도 => 0

270도 => -1

360도 => 0

 

와같은 변화를 보입니다.

 

조금 더 직관적인 이해를 돕기 위해서 아래 그림을 참조해 보세요.

각도의 변화에 따른 높이 변화

각도가 1바퀴 돌때 사인함수의 출력값이 -1 ~ 1을 왔다 갔다 하는 것을 알 수 있습니다.

이 출력값을 그래프로 그려보면 

사인그래프 (X축 : 입력값 - 각도, Y축 : 출력값 - 삼각비)

바로 사인 그래프가 완성됩니다.

사인 그래프가 있다면 언제든지 각도에 따른 (높이 / 빗변)의 값을 알아낼 수 있습니다.

이것이 sin함수입니다.